题目

已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上. （1） 如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝； （2） 如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN； （3） 如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD. 答案： 【1】10 证明：如图2，  ， 延长NF，EA相交于H， ∴∠AFH=∠DFN， 由（1）知，∠EAF=∠D=90°， ∴∠HAF=∠D=90°， ∵点F是AD的中点， ∴AF=DF， ∴△AHF≌△DNF（ASA）， ∴AH=DN，FH=FN， ∵∠EFN=∠HFE=90°，EF=EF， ∴△HFE≌△NFE， ∴∠AEF＝∠FEN； 证明：如图3， 过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P， ∴∠P=90°， 同（1）的方法得，△AEF≌△PFG（AAS）， ∴AF=PG，PF=AE， ∵AE=AD， ∴PF=AD， ∴AF=PD， ∴PG=PD， ∵∠P=90°， ∴∠PDG=45°， ∴∠MDG=45°， 在Rt△EFG中，EF=FG， ∴∠FGE=45°， ∴∠FGE=∠GDM， ∵∠GMN=∠DMG， ∴△MGN∽△MDG， ∴ MGDM=MNMG ， MG2=MN•MD.

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