题目

已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且 . （1） 求椭圆C的方程； （2） A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线 ， 的斜率之积为 （以O为坐标原点），M是 的中点，连接 并延长交椭圆C于点N，求 的值. 答案： 解：联立 {x=cx2a2+y2b2=1 ，解得 y=±b2a ，故 |PQ|=2b2a=2 ，又 e=ca=22 ， a2=b2+c2 ，联立三式，解得 a=2 ， b=1 ， c=1 . 故椭圆C的方程为 x22+y2=1 . 解：设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， |BN||BM|=λ ， N(x3,y3) ， ∵M是 OA 的中点， ∴M(x12,y12) ， ∴BM→=(x12−x2,y12−y2) ， BN→=(x3−x2,y3−y2) . 又 ∵BN→=λBM→ ， ∴(x3−x2,y3−y2)=λ(x12−x2,y12−y2) ，即 {x3=λ2x1+(1−λ)x2y3=λ2y1+(1−λ)y2 ， ∵点 N(x3,y3) 在椭圆C上， ∴(λ2x1+(1−λ)x2)22+(λ2y1+(1−λ)y2)2=1 ， 即 λ24(x122+y12)+(1−λ)2(x222+y22)+λ(1−λ)(x1x22+y1y2)=1 .（*） ∵ A(x1,y1) ， B(x2,y2) 在椭圆C上， ∴x122+y12=1 ，① x222+y22=1 ② 又直线 OA ， OB 斜率之积为 −12 ， ∴y1y2x1x2=−12 ，即 x1x22+y1y2=0 ，③ 将①②③代入（*）得 λ24+(1−λ)2=1 ，解得 λ=85 所以 |BN||BM|=85

查看本题答案和解析