题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D． （1） 填空：点A的坐标为（　  ， 　 ），点B的坐标为（　  ， 　 ），点C的坐标为（　   ， 　  ），点D的坐标为（　  ， 　 ）； （2） 点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值． 答案： 解：令x=0，则y=2，∴A（0，2），令y=0，则﹣23x2﹣43x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），∴B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣23x2﹣43x+2=﹣23（x+1）2+83可知D（﹣1，83），故答案为：0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、83； 解：①设P（n，0），则E（n，﹣23n2﹣43n+2），∵PE=PC，∴﹣23n2﹣43n+2=1﹣n，解得n1=﹣32，n2=1（舍去），∴当n=﹣32时，1﹣n=52，∴E（﹣32，52），②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为13，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣13，∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，∴EF=32或52；③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），∴AB=22+32=13，AC=12+22=5，∵S△AOB=12×12OE×AB=12OA•OB，∴OE=1213，∵△OEM∽△ABO，∴OMOA=EMOB=OEAB，即OM2=EM3=121313，∴OM=-2413，EM=3613∴E（﹣-2413，3613），同理求得F（85，45），即△PQR周长的最小值为EF=85+24132+3613-452=326565．　

查看本题答案和解析