题目

如图，在四棱锥 中，二面角 的大小为90°， ， ， ， ． （1） 求证： ； （2） 试确定 的值，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ． 答案： 证明 ：因为 AB//CD ，且 AB=CD ，故四边形 ABCD 为平行四边形；连接 AC ，因为 AB=22,BC=2,∠DCB=1350,∠ABC=450 ，由余弦定理得 AC2=8+4−2⋅22⋅2⋅cos450=4 ，得 AC=2 ，所以 ∠ACB=900 ，即 BC⊥AC ，又 AD//BC ，所以 AD⊥AC ，又 AD=AS=2,DS=22 ，所以 SA⊥AD,AS∩AC=A ，所以AD⊥ 平面 SAC ，所以 AD⊥SC 解：因为二面角 S−AD−B 的大小为90°， SA⊥AD ，所以 SA⊥ 底面 ABCD ，所以直线 AC,AD,AS 两两互相垂直，以 A 为原点，直线 AD,AC,AS 坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系 A−xyz ，则 A(0,0,0),D(−2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(−1,1,0),S(0,0,2) ，所以 SC⇀=(0,2,−2),SD⇀=(−2,0,−2),SB⇀=(2,2,−2) ，则 SF⇀=(2λ,2λ,−2λ),F(2λ,2λ,−2λ+2) ，所以 EF⇀=(2λ+1,2λ−1,−2λ+2) ，设平面 SDC 的法向量为 n⇀=(x,y,z) ，由 n⇀·SC⇀=0,n⇀·SD⇀=0 ，得 {2y−2z=0−2x−2z=0  ，令 x=1 ，得 n⇀=(1,−1,−1) ．依题意， |EF⇀·n⇀||EF⇀|·|n⇀|=|−2λ+2|12λ2−8λ+6 ，化简可得 |2λ3|=|−2λ+2| ，即 3|λ−1|=|λ| ，解得 λ=3−32

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