题目

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a﹣x）＝b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”． （1） 判断函数f1（x）＝x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由； （2） 若函数f2（x）＝4x是“（a，b）型函数”，求出满足条件的一组实数对（a，b）， （3） 已知函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）． 当x∈[0，1]时，g（x）＝x2﹣m（x﹣1）+1（m＞2），若当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤4，试求m的取值范围． 答案： 解：f1（x）＝x不是“（a，b）型函数”， ∵f1（x）＝x， ∴f1（a+x）＝a+x，f1（a﹣x）＝a﹣x， ∴f1（a+x）•f1（a﹣x）＝（a+x）（a﹣x）＝b， 即a2﹣x2＝b， ∴不存在实数对（a，b）使得a2﹣x2＝b对定义域中的每一个x都成立， ∴f1（x）＝x不是“（a，b）型函数” 解：∵函数f2（x）＝4x是“（a，b）型函数”， ∴4a+x•4a﹣x＝b， ∴16a＝b， ∴存在实数对，如a＝1，b＝16，使得f1（a+x）•f1（a﹣x）＝b对任意的x∈R都成立； ∴满足条件的一组实数对（a，b）为（1，16） 解：∵函数g（x）是“（a，b）型函数”，对应的实数对（a，b）为（1，4）， ∴g（1+x）g（1﹣x）＝4， ∴当x∈[1，2]时，g（x） =4g(2−x) ，其中2﹣x∈[0，1]， 又∵x∈[0，1]时，g（x）＝x2+m（1﹣x）+1＝x2﹣mx+m+1，其对称轴方程为x =m2 ， 当m＞2时，g（x）在[0，1]上的值域为[g（1），g（0）]，即[2，m+1]， ∴g（x）在[0，2]上的值域为[ 4m+1 ，m+1]， 由题意，得 {m+1≤44m+1≥1 ，∴2＜m≤3； ∴所求m的取值范围是2＜m≤3．

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