题目

在一元二次方程中，有著名的韦达定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x1 ， x2 ， 那么x1+x2= ，x1+x2= (说明:定理成立的条件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中，△=17，所以该方程有两个不等的实数解.记方程的两根为x1 ， x2 ， 那么x1+x2= ，x1+x2= .请阅读材料回答问题: （1） 已知方程x2-3x-2=0的两根为x1、x2 ， 求下列各式的值: ①x12+x22；② ； （2） 已知x1 ， x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根. ①是否存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)= 成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②求使 -2的值为整数的实数k的整数值. 答案： 解：∵x2-3x-2=0，△=(-3)2-4×(-2)=17＞0，∴x1+x2=3，x1•x2=-2 ①x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=32-2×(-2)=9+4=13； ② 1x1+1x2 = x1+x2x1·x2 =- 32 解：∵方程有两个实数根， ∴△=(-4k)2-4•4k(k+1)＞0； ∴k＜0，x1+x2=1，x1•x2= k+14k ， ①∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)-9x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2， ∴2-9• k+14k =− 32 ， 解得：k= 95 ，与k＜0矛盾； ∴不存在k的值，使(2x1-x2)(x1-2x2)=- 32 成立. ② x2x1+x1x2 -2= x12+x22−2x1x2x1·x2 = (x12+2x1x2+x22)−4x1x2x1·x2 = (x1+x2)2−4x1x2x1·x2 = 1−4·k+14kk+14k = 4k−4k−4k+1 = −4k+1 . ∵ x2x1+x1x2 -2= −4k+1 的值为整数， ∴k+1=±1或±2或±4， 又∵k＜0， ∴k=-2或-3或-5

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