题目

已知值域为[﹣1，+∞）的二次函数满足f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），且方程f（x）=0的两个实根x1 ， x2满足|x1﹣x2|=2．（1）求f（x）的表达式；（2）函数g（x）=f（x）﹣kx在区间[﹣1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（﹣1），求实数k的取值范围． 答案：解：（1）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），可得f（x）的图象关于x=﹣1对称，∴设f（x）=a（x+1）2+h=ax2+2ax+a+h，∵函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），可得h=﹣1，根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣2，x1 x2=1+ha，∴x1﹣x2=x1+x22-4x1x2=-4ha=2，解得：a=﹣h=1，∴f（x）=x2+2x；（2）由题意得函数g（x）在区间[﹣1，2]递增，又g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k﹣2）x=x-k-222﹣k-224，∴k-22≤﹣1，即k≤0，综上：k≤0．

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