题目

如图，抛物线 经过 ， 两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． （1） 求抛物线的表达式； （2） 求证：AB平分 ； （3） 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：将 A(−3，0) ， B(5，−4) 代入得： {9a−3b−4=025a+5b−4=−4 ，解得： a=16 ， b=−56 ，∴ 抛物线的解析式为 y=16x2−56x−4 解： (2)∵AO=3 ， OC=4 ，∴AC=5 ，取 D(2，0) ，则 AD=AC=5 ，由两点间的距离公式可知 BD=(5−2)2+(−4−0)2=5 ，∵C(0，−4) ， B(5，−4) ，∴BC=5 ，∴BD=BC ，在 △ABC 和 △ABD 中， AD=AC ， AB=AB ， BD=BC ，∴△ABC ≌ △ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分 ∠CAO 解：如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．抛物线的对称轴为 x=52 ，则 AE=115 ．∵A(−3，0) ， B(5，−4) ，∴tan∠EAB=12 ，∵∠M'AB=90° ，∴tan∠M'AE=2 ，∴M'E=2AE=11 ，∴M'(52，11) ，同理： tan∠MMF=2 ，又 ∵BF=52 ，∴FM=5 ，∴M(52，−9) ，∴ 点M的坐标为 (52，11) 或 (52，−9)

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