题目

已知函数 ，其中 . （1） 求关于 的不等式 的解集； （2） 对任意 ，若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围. 答案： 解：不等式 f(x)>0 ，即为不等式 (x−k)(x−4)>0 ， 当 k<4 时，不等式的解集为 (k，4) ； 当 k=4 时，不等式的解集为 (−∞ ， 4)∪(4 ， +∞) ； 当 k>4 时，不等式的解集为 (4，k) ． 解：对任意 x∈[1 ， 3] ，不等式 f(x)>4k−5 恒成立， 所以对任意 x∈[1 ， 3] ，不等式 (x−k)(x−4)>4k−5 恒成立， 即对任意 x∈[1 ， 3] ， k<x+5x−4 恒成立， 由对勾函数 y=x+5x−4 在 [1 ， 5) 单调递减，在 (5 ， 3] 单调递增， 所以 y=x+5x−4 在 x=5 处取得最小值为 25−4 ， 所以 k<25−4 ， 即 k 的取值范围是 (−∞，25−4) ．

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