题目

已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，  ， . （1） 证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2） 求{an}和{bn}的通项公式. 答案： 解：由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn) ，即 an+1+bn+1=12(an+bn) ． 又因为a1+b1=l，所以 {an+bn} 是首项为1，公比为 12 的等比数列． 由题设得 4(an+1−bn+1)=4(an−bn)+8 ， 即 an+1−bn+1=an−bn+2 ． 又因为a1–b1=l，所以 {an−bn} 是首项为1，公差为2的等差数列． 由（1）知， an+bn=12n−1 ， an−bn=2n−1 ． 所以 an=12[(an+bn)+(an−bn)]=12n+n−12 ， bn=12[(an+bn)−(an−bn)]=12n−n+12 ．

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