题目

如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB=BC=AE=2，CF=1． （1） 求证：BF∥平面ADE； （2） 求直线BE与直线DF所成角的余弦值； （3） 求点D到直线BF的距离． 答案： 证明：∵AE∥CF，AE⊄平面BFC，CF⊂平面BFC，∴AE∥平面BCF，∵AD∥BC，同理可得AD∥平面BFC，又AD∩AE=A，∴平面BCF∥平面ADE，∵BF⊂平面BFC，∴BF∥平面ADE 解：以A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），E（0，0，2），F（2，2，1），则BE→=（-2，0，2），DF→=（2，-1，1），cos⟨BE→，DF→⟩=BE→·DF→|BE→||DF→|=−222×6=−36 ∴直线BE与直线DF所成角的余弦值为36 解：根据（2）可知BF→=（0，2，1），DF→=（2，-1，1），cos⟨BF→，DF→⟩=|BF→·DF→|BF→||DF→||=|−15×6|=130 ∴sin⟨BF→，DF→⟩=1−cos2⟨BF→，DF→⟩=2930 |DF→|sin⟨BF→，DF→⟩=6×2930=1455

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