题目

在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为.试求: (1)切点A的坐标; (2)过切点A的切线方程. 答案：如图,设切点A(x0,y0),由y′=2x,得过A点的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02. 令y=0,得x=,即C(,0). 设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S, S=S曲边△AOB-S△ABC,S曲边△AOB ==x3=x03, S△ABC=|BC|·|AB|=(x0-)·x02=x03, 即S=x03-x03=x03=. 所以x0=1,从而切点为A(1,1),切线方程为y=2x-1. 解析:设出切点A的坐标,利用导数的几何意义,写出切线方程,然后利用定积分求出所围成平面图形的面积,从而确定切点A的坐标,使问题得以解决.

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