题目

已知函数， . （1）证明：的唯一的零点在内；（2）若对任意的，，恒成立，求的取值范围. 答案：解： ∵f(2)=−2<0 ， f(3)=3>0 ， ∴ 函数 y=f(x) 在 (2,3) 内存在零点. 因为函数 y=f(x) 在 R 上为增函数，故函数 y=f(x) 的唯一的零点在 (2,3) 内解： ∵ 函数 y=f(x) 在 [1,3] 上为增函数， ∴ 函数 y=f(x) 在 [1,3] 上的最小值为 f(1)=−5 . ∵x2∈[1e,e2] ， ∴lnx2∈[−1,2] . 当 a>0 时，函数 y=g(x) 在 [1e,e2] 上的最大值为 2a ，则 4a−5>2a ，解得 a>52 ；当 a<0 时，函数 y=g(x) 在 [1e,e2] 上的最大值为 −a ，则 4a−5>−a ，解得 a>1 ，又 a<0 ，不合题意. 综上， a 的取值范围为 (52,+∞) .

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