题目

已知k为实数，f（x）=（x2﹣4）（x+k） （1）求导数f′（x）； （2）若x=﹣1是函数f（x）的极值点，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值； （3）若f（x）在区间（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）上都是单调递增的，求实数k的取值范围． 答案：解：（1）∵f（x）=（x2﹣4）（x+k）=x3+kx2﹣4x﹣4k， ∴f′（x）=3x2+2kx﹣4． （2）∵x=﹣1是函数f（x）的极值点， ∴由f′（﹣1）=0，得3﹣2k﹣4=0， 解得k=﹣． ∴f（x）=x3﹣x2﹣4x+2，f′（x）=3x2﹣x﹣4． 由f′（x）=0，得x=﹣1或x=． 又f（﹣2）=0，f（1）=，f（）=﹣，f（2）=0， ∴f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为，最小值为﹣， （3）∵f′（x）=3x2+2kx﹣4的图象是开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线． 由已知，得， ∴﹣2≤k≤2， ∴k的取值范围为[﹣2，2]．

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