题目

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1） 求抛物线的函数表达式； （2） 若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC ， 求点P的坐标； （3） 如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 答案： 解：把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得0=-9-3b+c3=c，解得b=-2c=3．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3． 解：由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴12×3×|﹣x2﹣2x+3|=4×12×1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±22．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+22，﹣4）或（﹣1﹣22，﹣4）； 解：设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得-3k+t=0t=3，解得k=1t=3．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+32）2+94，∴当x=-32时，QD有最大值94．

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