题目

设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 ． （1） 若 ，则 中至少还有几个元素？ （2） 集合 是否为双元素集合？请说明理由． （3） 若 中元素个数不超过 ，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合 ． 答案： 解： ∵2∈A ， ∴11−2=−1∈A ． ∵−1∈A ， ∴11−(−1)=12∈A ． ∵12∈A ， ∴11−12=2∈A ． ∴A 中至少还有两个元素为-1， 12 ； 解：不是双元素集合．理由如下： ∵x∈A ， ∴11−x∈A ， 11−11−x=x−1x∈A ， 由于 x≠1 且 x≠0 ， x2−x+1=(x−12)2+34>0 ，则 x2−x+1≠0 ， 则 x(1−x)≠1 ，可得 x≠11−x ，由 x2−2x+1≠−x ，即 (x−1)2≠−x ，可得 11−x≠x−1x ， 故集合 A 中至少有3个元素，所以，集合 A 不是双元素集合． 解：由（2）知 A 中有三个元素为 x 、 11−x 、 x−1x （ x≠1 且 x≠0 ）， 且 x⋅11−x⋅x−1x=−1 ， 设 A 中有一个元素为 m ，则 11−m∈A ， m−1m∈A ，且 m⋅11−m⋅m−1m=−1 ， 所以， A={x,11−x,x−1x,m,11−m,m−1m} ，且集合 A 中所有元素之积为 1 . 由于 A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设 (11−x)2=1 或 (x−1x)2=1 ，解得 x=0 （舍去）或 x=2 或 x=12 ． 此时， 2∈A ， −1∈A ， 12∈A ， 由题意得 12+2−1+m+11−m+m−1m=143 ，整理得 6m3−19m2+m+6=0 ， 即 (m−6)(2m+1)(3m−2)=0 ，解得 m=−12 或 3 或 23 ， 所以， A={12,2,−1,−12,3,23} ．

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