题目

如图所示，一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量 可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度。在平台的右端有一传送带， 长 ，物块与传送带间的动摩擦因数 ，与传送带相邻的粗糙水平面 长s=1.5m，它与物块间的动摩擦因数 ，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直圆弧与 平滑连接，圆弧对应的圆心角为 ，在圆弧的最高点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来。若传送带以 的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失。当弹簧储存的 能量全部释放时，小物块恰能滑到与圆心等高的 点，取 。 （1） 求右侧圆弧的轨道半径为R; （2） 求小物块最终停下时与C点的距离; （3） 若传送带的速度大小可调，欲使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离轨道，求传送带速度的可调节范围。 答案： 解：物块被弹簧弹出，由 Ep=12mv02 ，可知： v0=6m/s 因为 v0>v ，故物块滑上传送带后先减速物块与传送带相对滑动过程中， 由： μ1mg=ma1 ， v=v0−a1t1 ， x1=v0t1−12a1t12 得到： a1=2m/s2 ， t1=0.5s ， x1=2.75m 因为 x1<L ，故物块与传送带同速后相对静止，最后物块以 5m/s 的速度滑上水平面BC，物块滑离传送带后恰到E点，由动能定理可知： 12mv2=μ2mgs+mgR 代入数据整理可以得到： R=0.8m 解：设物块从E点返回至B点的速度为 vB ，由 12mv2−12mvB2=μ2mg×2s 得到 vB=7m/s ，因为 vB>0 ，故物块会再次滑上传送带，物块在恒定摩擦力的作用下先减速至0再反向加速，由运动的对称性可知其以相同的速率离开传送带，设最终停在距C点x处，由 12mvB2=μ2mg(s−x) ，得到： x=13m 解：设传送带速度为 v1 时物块能恰到F点，在F点满足 mgsin30∘=mvF2R 从B到F过程中由动能定理可知： 12mv12−12mvF2=μ2mgs+mg(R+Rsin30∘) 解得： v1=37m/s 设传送带速度为 v2 时，物块撞挡板后返回能再次上滑恰到E点， 由： 12mv22=μ2mg×3s+mgR 解得： v2=43m/s 若物块在传送带上一直加速运动，由 12mvBm2−12mv02=μ1mgL 知其到B点的最大速度 vBm=56m/s 综合上述分析可知，只要传送带速度 37m/s≤v≤43m/s 就满足条件。

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