题目

已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|. （1） 若a＝－1，解方程f(x)＝1； （2） 若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围； （3） 是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案： 解：当 a=−1 时， f(x)=x2+(x−1)|x+1| ，则 f(x)={2x2−1,x≥−11,x<−1 ；当 x≥－1 时，由 f(x)＝1 ，得 2x2−1=1 ，解得 x＝1 或 x＝－1 ；当 x<－1 时， f(x)＝1 恒成立，∴方程的解集为 {x|x≤－1 或 x＝1} 解：由题意知 f(x)={2x2−(a+1)x+a,x≥a(a+1)x−a,x<a ，若 f(x) 在R上单调递增，则 {a+14≤aa+1>0 解得 a≥13 ，∴实数 a 的取值范围为 {a|a≥13} 解：设 g(x)＝f(x)－(2x－3) ，则 g(x)={2x2−(a+3)x+a+3,x≥a(a−1)x−a+3,x<a ，不等式 f(x)≥2x−3 对任意 x∈R 恒成立，等价于不等式 g(x)≥0 对任意 x∈R 恒成立． ①若 a>1 ，则 1－a<0 ，即 21−a<0 ，取 x0=21−a ，此时 x0<a ，∴ g(x0)=g(21−a)=(a−1)⋅21−a−a+3=1−a<0 ，即对任意的 a>1 ，总能找到 x0=21−a ，使得 g(x0)<0 ，∴不存在 a>1 ，使得 g(x)≥0 恒成立． ②若 a＝1 ，则 g(x)={2x2−4x+4,x≥12,x<1 ，∴ g(x) 的值域为 [2，＋∞) ，∴ g(x)≥0 恒成立③若 a<1 ，当 x∈(－∞，a) 时， g(x) 单调递减，其值域为 (a2−2a+3,+∞) ，由于 a2−2a+3=(a−1)2+2≥2 ，所以 g(x)≥0 恒成立，当 x∈[a，＋∞) 时，由 a<1 ，知 a<a+34 ， g(x) 在 x=a+34 处取得最小值，令 g(a+34)=a+3−(a+3)28≥0 ，得 －3≤a≤5 ，又 a<1 ，∴ －3≤a<1 ，综上， a∈[－3,1] ．

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