题目

如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DG=GF．求证：（1）D、E、C、F四点共圆；       （2）GE⊥AB．  答案：解：（Ⅰ）如图，连接OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，∴四点O，D，G，C共圆．设∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．∴∠DGC=180°﹣∠DOC=2（∠1+∠2）．∵DG=GF，DG=CG．∴GF=GC．∴∠GCF=∠F．∵∠DGC=2∠F，∴∠F=∠1+∠2．又∵∠DEC=∠AEB=180°﹣（∠1+∠2），∴∠DEC+∠F=180°，∴D，E，C，F四点共圆．（Ⅱ）延长GE交AB于H．∵GD=GC=GF，∴点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC．又∵∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，∴∠GEC+∠3=90°，∴∠AEH+∠1=90°，∴∠EHA=90°，即GE⊥AB．

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