题目

在 中，角 的对边分别为 ， .有以下3个条件：① ；② ；③ .请在以上3个条件中选择一个，求 面积的最大值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案：解：若选择①： 由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 得： 可将 2ccosA=b 化为： 2sinCcosA=sinB ， 又 A+B+C=π ，所以 sinB=sin(A+C) ， 所以 2sinCcosA=sin(A+C) ， 即 sinAcosC−cosAsinC=0 ， ∴sin(A−C)=0 ， ∴A=C ， ∴a=c=2 ， 所以 SΔABC=12acsinB=2sinB≤2 （当 B=π2 时取到等号）， 所以 ΔABC 面积的最大值为2. 若选择②： 由正弦定理 asinA=bsinB=csinC 可将 2b−a=2ccosA 化为： 2sinB−sinA=2sinCcosA ， 又 A+B+C=π ， 所以 sinB=sin(A+C) ， 所以 2sin(A+C)−sinA=2sinCcosA ， 即 2sinAcosC=sinA ， ∴cosC=12 ， 又 C∈(0,π) ， ∴C=π3 ， 又由余弦定理 c2=a2+b2−2abcosC 可得： 4=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab （当且仅当 a=b 时取等号）， ∴SΔABC=12absinC≤2sinC=3 ， 所以 ΔABC 面积的最大值为 3 . 若选择③： 因为 c=2 ， 所以 a+b=2c=4≥2ab ， ∴ab≤4 （当且仅当 a=b 时取等号）， 又由余弦定理 cosC=a2+b2−c22ab 得： cosC=a2+b2−(a+b2)22ab=34(a2+b2)−12ab2ab≥ab2ab=12 （当且仅当 a=b 时取等号）， ∴0<C≤π3 ， ∴SΔABC=12absinC≤12×4×sinπ3=3 （当且仅当 a=b 时取等号）， 所以 ΔABC 面积的最大值为 3 .

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