题目

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F． （1） 求证：△AEB∽△CFB； （2） 求证： ； （3） 若CE＝5，EF＝2 ，BD＝6．求AD的长． 答案： 证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴△AEB∽△CFB． 证明：结合（1）的结论，得：∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD， ∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE， ∵∠CEF＝∠A+∠ABE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∵△AEB∽△CFB， ∴ AECF ＝ ABCB ， ∴ AECE ＝ ABCB ． 解：如图，作CH⊥EF交EF于点H ∵CE＝CF，CH⊥EF， ∴EH=FH= EF2 = 5 ， ∠CHF=90∘ ∴CH＝ EC2−EH2 ＝ 52−(5)2 ＝2 5 ， ∵ ∠CFH=∠BFD ， ∠CHF=∠CDB=90∘ ∴△BFD∽△CFH， ∴ DFHF ＝ BDCH ， ∴ DF5 ＝ 625 ， ∴DF＝3 ∴CD＝CF+DF＝CE+DF＝5+3＝8， ∵∠A＝∠BCD， ∠ACB=∠CDB=90∘ ∴△ACD∽△CBD， ∴ ADCD ＝ CDBD ， ∴ AD8 ＝ 86 ， ∴AD＝ 323 ．

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