题目

在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，顶点坐标记为 .抛物线 的顶点坐标记为 . （1） 写出 点坐标； （2） 求 ， 的值（用含 的代数式表示）； （3） 当 时，探究 与 的大小关系； （4） 经过点 和点 的直线与抛物线 ， 的公共点恰好为3个不同点时，求 的值. 答案： 解：∵ y1=−(x+4)(x−n) ，令 y1=0 ， −(x+4)(x−n)=0 ， ∴ x1=−4 ， x2=n ， ∴ A(−4,0) 解： y1=−(x+4)(x−n)=−x2+(n−4)x+4n=−(x−n−42)2+14n2+2n+4 ， ∴ k1=14n2+2n+4 ， ∵ y2=−(x+2n)2−n2+2n+9 ， ∴ k2=−n2+2n+9 解：∵ k1=14n2+2n+4 ， k2=−n2+2n+9 ， 当 k1=k2 时， 14n2+2n+4=−n2+2n+9 ， 此时 n=−2 或 n=2 ， y=k1−k2=54n2−5 . 由如图1图象可知： 当 −4≤n<−2 时， k1>k2 ， 当 −2<n<2 时， k1<k2 ， 当 2<n≤4 时， k1>k2 ， 当 n=−2 或 n=2 时， k1=k2 解：设直线 MN 的解析式为： y=kx+b ， 则 {(2n+9)k+b=−5n2  (1)2nk+b=9−5n2  (2) ， 由（1）-（2）得， k=−1 ， ∴ b=−5n2+2n+9 ， 直线 MN 的解析式为： y=−x−5n2+2n+9 . 第一种情况：如图3， 当直线 MN 经过抛物线 y1 ， y2 的交点时， 联立抛物线 y1=−x2+(n−4)x+4n 与 y2=−x2−4nx−5n2+2n+9 的解析式可得： (5n−4)x=−5n2−2n+9 ① 联立直线 y=−x−5n2+2n+9 与抛物线 y2=−x2−4nx−5n2+2n+9 的解析式可得： x2+(4n−1)x=0 ， 则 x1=0 ， x2=1−4n ② 当 x1=0 时，把 x1=0 代入 y1 得： y=4n ， 把 x1=0 ， y=4n 代入直线的解析式得： 4n=−5n2+2n+9 ， ∴ 5n2+2n−9=0 ， ∴ n=−1±465 . 此时直线 MN 与抛物线 y1 ， y2 的公共点恰好为三个不同点. 当 x2=1−4n 时，把 x2=1−4n 代入①得： (5n−4)(1−4n)=−5n2−2n+9 ， 该方程判别式 Δ<0 ，所以该方程没有实数根. 第二种情况：如图4， 当直线 MN 与抛物线 y1 或者与抛物线 y2 只有一个公共点时. 当直线 MN 与抛物线 y1=−x2+(n−4)x+4n 只有一个公共点时， 联立直线 y=−x−5n2+2n+9 与抛物线 y=−x2+(n−4)x+4n 可得， ∴ −x2+(n−3)x+5n2+2n−9=0 ， 此时 Δ=0 ，即 (n−3)2+4(5n2+2n−9)=0 ， ∴ 21n2+2n−27=0 ， ∴ n=−1±214221 . 由第一种情况而知直线 MN 与抛物线 y2=−x2−4nx−5n2+2n+9 公共点的横坐标为 x1=0 ， x2=1−4n ， 当 n=−1±214221 时， 1−4n≠0 ，∴ x1≠x2 . 所以此时直线 MN 与抛物线 y1 ， y2 的公共点恰好为三个不同点. 如图5， 当直线 MN 与抛物线 y2=−x2−4nx−5n2+2n+9 只有一个公共点， ∵ x1=0 ， x2=1−4n ， ∴ n=14 ， 联立直线 y=−x−5n2+2n+9 与抛物线 y1=−x2+(n−4)x+4n ， −x2+(n−3)x+5n2+2n−9=0 ， Δ=(n−3)2+4(5n2+2n−9)=21n2+2n−27 ， 当 n=14 时， Δ<0 ， 此时直线 MN 与抛物线 y1 ， y2 的公共点只有一个， ∴ n≠14 . 综上所述：∴ n1=−1+465 ， n2=−1−465 ， n3=−1+214221  n4=−1−214221

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