题目

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内． （1） 点B的坐标； （2） 将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； （3） 在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】（﹣3，1） 解：设反比例函数为y＝ kx ， 由题意得：点B′坐标为（﹣3+t，1），点D′坐标为（﹣7+t，3）， ∵点B′和D′在该比例函数图象上， ∴ {k=−3+tk=3(−7+t) ， 解得：t＝9，k＝6， ∴反比例函数解析式为y＝ 6x 解：假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n， 6n ）． 以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况： ①当B′D′为对角线时， ∵四边形B′PD′Q为平行四边形， ∴ {6n−3=1m−6=2−n ，解得： {m=132n=32 ， ∴P（ 132 ，0），Q（ 32 ，4）； ②当B′D′为边时． ∵四边形PQB′D′为平行四边形， ∴ {m−n=6−26n−0=3−1 ，解得： {m=7n=3 ， ∴P（7，0），Q（3，2）； ∵四边形B′QPD′为平行四边形， ∴ {n−m=6−20−6n=3−1 ，解得： {m=−7n=−3 综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为P（ 132 ，0）、Q（ 32 ，4）或P（7，0）、Q（3，2）或（﹣7，0）、（﹣3，﹣2）．

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