题目

在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1） 已知正实数x､y满足 ， 求的最小值.甲给出的解法：由 ， 得 ， 所以 ， 所以的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法； （2） 结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值. 答案： 解：甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x=y和x=2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的.正确的解法如下：因为x>0，y>0，且2x+y=1，所以1x+12y=(2x+y)(1x+12y)=52+yx+xy≥52+2yx⋅xy=92，当且仅当yx=xy，即x=y=13时取“=”，所以1x+12y的最小值为92. 解：因为0<x<23，所以0<2−3x<2，所以y=1x+12−3x=12[3x+(2−3x)][1x+12−3x]=12(4+3x2−3x+2−3xx)≥12(4+23x2−3x⋅2−3xx)=2+3，当且仅当3x2−3x=2−3xx，即x=1−33∈(0，23)时取“=”，所以y=1x+12−3x(0<x<23)的最小值为2+3.

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