题目

如图，在等腰Rt△ABC中， ，点D是以AB为直径的⊙O上一点，连接BD，CD，BD交AC于点P，且 . （1） 求证：CD为⊙O的切线； （2） 求cos∠BPC的值. 答案： 证明：连OD， ∵ CD=BC ， ∴ ∠CDB=∠CBD ， 在⊙O中 OB=OD ， ∴ ∠ODB=∠OBD ， ∴ ∠CDB+∠ODB=∠CBD+∠OBD ， 即 ∠CDO=∠CBO=90° ， 又∵点D在⊙O上， ∴CD为⊙O的切线 ； 解：连OD，OC交BD于H， ∵BC=CD，OB=OD， ∴OC垂直平分BD， ∴∠ABD+∠BOH=∠BCO+∠BOH=90°， ∴∠ABD=∠BCO， ∵Rt△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， 又∵ OB=12AB ， ∴ OB=12BC ， ∴ tan∠ABD=tan∠BCO=OBBC=12 ， 设 OH=x ，则 BH=2x=DH ， CH=2BH=4x ， AD=12BD=2x ， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD∥CH， ∴ DPPH=ADCH=12 ， ∴ PH=23DH=43x ， 在Rt△PHC中，由勾股定理得： PC=(4x)2+(43x)2=4103x ， ∴ cos∠BPC=PHPC=1010 .

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