题目

已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围． （3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值． 答案：解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x， 得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0， ∴， ∴f（x）=x2﹣x+1； （2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立； 令， x∈[﹣1，1]， 则对称轴：， 则g（x）min=g（1）=﹣1， ∴m＜﹣1； （3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1] 对称轴为：， ①当时，即：；如图1： g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7 ②当时，即：；如图2： g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3， 综上所述：． 　

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