题目

已知二次函数 （a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C. （1） 求C点坐标，并判断b的正负性； （2） 设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA=1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC， ①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式； ②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围. 答案： 解：当x=0时， y=ax2+bx−4 =-4， ∴C(0，-4)， ∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即 −b2a>0 ， ∵a＞0，∴b＜0 解：①过点D作DM⊥y轴，垂足为M，则有DM//OA， ∴△DCM∽△ACO， ∴ DMOA=MCCO=DCCA=12 ， ∴ DM=12AO ， 设A(-2m，0)m＞0，则AO=2m，DM=m， ∵OC=4，∴CM=2， ∴D(m，-6)，B(4m，0)，AB=6m，BN=3m， ∵DN//OE， ∴△BND∽△BOE， ∴ DNOE=BNOB ， 即 6OE=3m4m ， ∴OE=8， ∴CE=OE-OC=4， ∴ S△BCE=12×4×4m=8 ， ∴ m=1 ， ∴A(-2，0)，B(4，0)， 设 y=a(x+2)(x−4) ， 即 y=ax2−2ax−8a ， 令x=0，则y=-8a， ∴C(0，-8a)， ∴-8a=-4， ∴a= 12 ， ∴ y=12x2−x−4 ； ②由①易知：B(4m，0)，C(0，-4)，D(m，-6)，∠CBD一定为锐角， 由勾股定理可得： CB2=16m2+16，CD2=m2+4，DB2=9m2+36 ， 当∠CDB为锐角时， CD2+DB2>CB2 ， m2+4+9m2+36>16m2+16 ， 解得 −2<m<2 ； 当∠BCD为锐角时， CD2+CB2>DB2 ， m2+4+16m2+16>9m2+36 ， 解得 m>2或m<-2（舍） ， 综上： 2<m<2 ， ∴ 22<2m<4 ， ∴ 22<OA<4 .

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