题目

问题背景：∠AOB＝90°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合）．    （1） 问题思考：如图1，MP、NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，则∠MPN＝°．  （2） 问题解决：如图2，若MC是∠AMN的平分线，MC的反向延长线与∠MNO的平分线交于点P．  ①若∠MNO＝60°，则∠P＝ ▲ °．  ②随着点M、N的运动，∠P的大小会变吗？如果不会，求∠P的度数；如果会，请说明理由．  （3） 问题拓展：在图2的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点M、N的运动（如图3），求∠P的度数（用含α的代数式表示）．  答案： 【1】45 解：①45； ②∠P的大小不变，理由如下： 设∠MNP=x° ∵NP平分∠MNO， ∴∠MNO=2x° ∵∠MON=90°， ∴∠AMN=∠MON+∠MNO=90°+2x° ∵CM平分∠AMN， ∴∠NMC=45°+x° ∵∠NMC=∠P十∠MNP，  ∴ ∠P=∠NMC−∠MNP=45°+x°−x°=45°  解：设∠MNP=y° ∵NP平分∠MNO，  ∴∠MNO=2y°   ∵∠MON=α，   ∴∠AMN=∠MON+∠MNO=α+2y°  ∵CM平分∠AMN，  ∴ ∠NMC=12α+y°.   ∴ ∠NMC=∠P+∠MNP   ∴ ∠P=∠NMC−∠MNP=12α+y°−y°=12α 

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