题目

如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2-2x+c(c>0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1,0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点。 （1） 求该抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2） 设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大； （3） 如图2，若直线0D的解析式是y=-3x，点P和点0分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 答案： 解：∵抛物线y=-x2-2x+c(c>)的图象经过点B（1，0）. -12-2×1+c=0，解得c=3. 抛物线y=-x2-2x+C(c>0)的解析式 是y=-x2-2x+3. 顶点E的坐标是（-1，4）. 解：x2-2x+3=0.解得x=1，x=-3.，∴OA=3,OC=3. ：D点的横坐标是a, ∴D(a,-a2-2a+3)， 连结DO，如图所示。 四边形AOCD的面积=△AOD的面积+△COD的面积 =−32a2−3a+92+(−32a)=−32a2−92a+92 . 当a=- 32 时，四边形AOCD的面积最大。 解：直线l:y=-3x，可设Q点的坐标是（a，-3a） （Ⅰ）平行四边形以OC为边时， ①P点的坐标是（a,a2-2a+3），如图  所示，   PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3. 整理得a2-a+6-0，解得；a1=3，a2=-2. 此时2点的坐标分别是（3，-9），(一2，6）. ②P点的坐标是（a,-a2+2a+3），如图所示， PQ=OC，得-3a-（a2-2a+3)=3. 整理得a2-a=0，解得：a1=1，a2=0《不合题意，舍去）， 此时Q点的坐标是（1，-3）. （Ⅱ)平行四边形以OC为对角线时，如图所示， 根据平行四边形的对角线相互平分可知，点P与点Q关于OC的中点成中心对称， 则P点的坐标是（a，-a2-2a+3），Q(-a,3a）得到：-a2-2a+3+3a=3. 整理得a2+a=0，解得；a1=-1，a2=0(不合题意，舍去）， 此时Q点的坐标是(-1，3）. 综上所述，满足条件的Q点坐标为：(3.，9），（-2，6），（1，-3）和（-1，3）.

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