题目

矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4． （1） 求AD的长； （2） 求阴影部分的面积和直线AM的解析式； （3） 求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （4） 在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，∵∠PBQ=90°，∴∠ABP=∠MBQ，∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴APMQ=BPBQ=ABBM，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，∴yMQ=PBx=5x+y-2，∴PB•MQ=xy，∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，∴BM=5，∴BE=BM+ME=5+2=7，∴AD=7； 解：∵AB=BM，∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，∵BQ2+MQ2=BM2，∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，∴BQ=7﹣3=4，∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM=12×（4+7）×4﹣12×4×3=16；设直线AM的解析式为y=kx+b，把A（0，5），M（7，4）代入得b=57k+b=4，解得k=-17b=5，∴直线AM的解析式为y=﹣17x+5； 解：设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，∴B（3，1），而A（0，5），D（7，5），∴，解得a=13b=-73c=5，∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=13x2﹣73x+5； 解：当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，13x2﹣73x+5），则K（x，﹣17x+5），则KP=﹣13x2+4621x，根据三角形面积公式可得到12•（﹣13x2+4621x）•7=252，解得x1=3，x2=257，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（257，4549）；再求出过点（3，1）与（257，4549）的直线l的解析式为y=﹣17x+107，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，107），所以AA′=257，然后把直线AM向上平移257个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，607），则直线l′的解析式为y=﹣17x+607，再通过解方程组y=13x2-73x+5y=-17x+607得P点坐标为(3,1)、（257,4549）、（23+210457,397-2104549）、（23-210457,397+2104549）．

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