题目

在平面直角坐标系 中，设椭圆 （ ）的离心率是e，定义直线 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为 ，长轴长为4. （1） 求椭圆C的方程； （2） 点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O： 的切线l，过点O且垂直于 的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论. 答案： 解：由题意得： be=abc=23 ， 2a=4 ，又 a2=b2+c2 ， 联立以上可得： a2=4 ， b2=3 ， c2=1 .∴椭圆C的方程为 x24+y23=1 解：如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为 y=±23 ，不妨取 y=23 ， 设 P(x0,23) （ x0≠0 ），则 kOP=23x0 ， ∴过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y=−x023x ， 当 x0=3 时，过P点的圆的切线方程为 x=3 ， 过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y=−12x ，联立 {x=3y=−12x ，解得： A(3,−32) ， 代入椭圆方程成立； 同理可得，当 x0=−3 时，点A在椭圆上； 当 x0≠±3 时，联立 {y=−x023x3x2+4y2=12 ， 解得 A1(69+x02,−3x09+x02) ， A2(−69+x02,3x09+x02) ， PA1 所在直线方程为 (239+x02+3x0)x−(x09+x02−6)y−3x02−123=0 . 此时原点O到该直线的距离 d=|−3x02−123|(239+x02+3x0)2+(x09+x02−6)2=3 ， ∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上. 综上可得，点A在椭圆C上.

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