题目

直角三角板 的斜边 的两个端点在 上，已知 ，直角边 与 相交于点 ，且点 是劣弧 的中点. （1） 如图1，判断直角边 所在直线与 的位置关系，并说明理由； （2） 如图2，点 是斜边 上的一个动点（与 、 不重合）， 的延长线交 于点 ，连接 、 . ① ， ，则 ▲ ； ▲ ； ②当点 在斜边 上运动时，求证： . 答案： 解：如图1所示，连接 OA ， OD ， OB ， BD ， ∵ ∠BAC=30° ， ∴ ∠BOD=60° ， ∵ OB=OD ∴ △BOD 是等边三角形， ∴ ∠BDO=∠DBO=60° ， ∵点 D 是劣弧 AB 的中点， ∴ ∠AOD=∠BOD=60° ， ∵ OA=OD ∴ △AOD 是等边三角形， ∴ ∠ADO=60° ， ∴ ∠ADB=∠ADO+∠BDO=120° ， ∴ ∠CDB=180°−∠ADB=180°−120°=60° ， ∴ ∠CBD=90°−∠CDB=90°−60°=30° ， ∴ ∠CBO=∠CBD+∠DBO=60°+30°=90° ， ∴ CB⊥OB ， ∵ OB 是 ⊙O 的半径， ∴ BC 是 ⊙O 的切线，即 BC 所在直线与 ⊙O 相切； 解：①如图2所示， AB 与 OD 相交于点 E ， 由（1）可知， △BOD ， △AOD 都是等边三角形，且 OA ， OD ， OB 是 ⊙O 的半径， ∴四边形 AOBD 是菱形， ∴ AB 与 OD 垂直平分， ∵ AD=6 ∴ DE=3 ， AE=33 ， ∴ AB=2AE=63 ； ∵ ∠BAC=30° ，点 D 是劣弧 AB 的中点， ∴ ∠DQA=∠BQD ∴ ∠DQA=∠BAC=30° ∵ ∠QDA=∠ADP ， ∴ △QDA∼△ADP ， ∴ DADQ=DPDA ， ∴ DQ=DA2DP=624=9 ， ∴ PQ=DQ−PD=9−4=5 ； ②如图3所示，过点 D ，作 DN⊥BQ 交 BQ 于点 N ， DM⊥AQ 交 AQ 延长线于点 M ， ∵ ∠DQA=∠BQD=30° ∴ QD 是 ∠BQA 的角平分线， ∴ DN=DM ， QN=QM 又∵ DB=DA ∴ Rt△DBN≅Rt△DAM ， ∴ BN=AM ， ∴在 Rt△DNQ 中， cos∠DQN=cos30°=QNQD=32 ∴ 2QN=3QD ， 即有 3QD=2QN=2QM=QM+QA+AM=QB+QA .

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