题目

如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 . （1） 求该抛物线的函数表达式； （2） 如图2，直线 ： 经过点A，点 为直线 上的一个动点，且位于 轴的上方，点 为抛物线上的一个动点，当 轴时，作 ，交抛物线于点 （点 在点 的右侧），以 ， 为邻边构造矩形 ，求该矩形周长的最小值； （3） 如图3，设抛物线的顶点为 ，在（2）的条件下，当矩形 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A(−1,0) ， B(4,0) 两点， ∴ {a−b+2=016a+4b+2=0 ， 解得： {a=−12b=32 ， ∴该抛物线的函数表达式为： y=−12x2+32x+2 解：∵ y=kx+3 经过点A， ∴ −k+3=0 ， ∴ k=3 ， ∴直线 l ： y=3x+3 ； 设 P(t，3t+3) ，则 Q(t，−12t2+32t+2) ， ∵抛物线对称轴为： x=−322×(−12)=32 ，且Q点和M点关于对称轴对称， ∴M点横坐标为 2×32−t=3−t ， ∴ QM=3−t−t=3−2t ； 又∵ PQ=3t+3−(−12t2+32t+2)=12t2+32t+1 ， ∴ 2(PQ+QM)=2(12t2+32t+1+3−2t)=t2−t+8=(t−12)+314 ， 当 t=12 时， 2(PQ+QM) 的值最小，为 314 ； ∴该矩形周长的最小值为 314 解：存在， F(−1,0) 或 F(53，289) ； 由（2）可知， Q(12，218) ， ∵抛物线的函数表达式为： y=−12x2+32x+2 ； 且 4×(−12)×2−(32)24×(−12)=258 ， ∴顶点D坐标为 (32，258) ， 如图4，作DE⊥QM， 因为 DE=258−218=12 ， QE=32−12=1 ， ∴ tan∠DQE=12 ； 又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B， ∴ C(0,2) 令 −12x2+32x+2=0 ，解得： x1=−1 ， x2=4 ； ∴ A(−1,0) ， B(4,0) ， ∴ OC=2,OB=4 ， ∴ tan∠CBA=24=12 ， ∴当F点在点A处时，能使得 ∠CBF= ∠DQM ，此时 F(−1,0) ; 如图5，在BC另一侧，当 ∠CBH= ∠DQM 时， ∠CBH= ∠CBA ， 过C点作CN⊥BH，垂足为点N， 由角平分线的性质可得：CN=CO=2， ∴BN=BO=4， 由勾股定理可得： CH2=CN2+NH2 且 OH2+OB2=BH2 ， 即 CH2=22+NH2 ，且 (CH+2)2+42=(NH+4)2 ； 解得： CH=103 ， NH=83 ; ∴ H(0,163) 设直线BH的函数解析式为： y=px+q ， ∴ {q=1634p+q=0 ， ∴ {p=−43q=163 ， ∴直线BH的函数解析式为： y=−43x+163 ， 联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得： {y=−43x+163y=−12x2+32x+2 解得： {x=4y=0 （与B点重合，故舍去），或 {x=53y=289 ， ∴ F(53，289) ， 综上可得，抛物线上存在点 F ，使得 ∠CBF= ∠DQM ， F(−1,0) 或 F(53，289)

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