题目

已知：两直线l1 ， l2满足l1∥l2 ，点C，点D在直线l1上，点A，点B在直线l2上，点P是平面内一动点，连接CP，BP，     （1） 如图 1，若点P在 l1 ， l2外部，则∠DCP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明的这个结论； （2） 如图 2，若点P在l1 ， l2外部，连接AC，则∠CAB、∠ACP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明这个结论；（不能用三角形内角和为 180°） （3） 若点P在 l1 ， l2内部，且在AC的右侧，则∠ACP﹑∠ABP﹑∠CAB﹑∠CPB之间满足什么数量关系？（不需证明） 答案： 解：如图1， 数量关系为： ∠DCP=∠CPB+∠ABP ， 理由：过点 P 作 PE//l1 ， ∵l1∥l2 ， ∴PE∥l2 ， ∴∠DCP=∠CPE ， ∠ABP=∠1 ， ∴∠DCP=∠CPE=∠CPB+∠1=∠CPB+∠ABP ； 解：如图2， 数量关系为： ∠CAB+∠ACP=∠CPB+∠ABP ， 理由：过点 A 作 AE∥PB ，过点 C 作 CF∥PB ， ∴AE∥CF∥PB ， ∴∠1=∠2 ， ∠3=∠CPB ， ∠ABP=∠1+∠4 ， ∴∠CAB+∠ACP=∠4+∠2+∠3 ， ∴∠CPB+∠ABP=∠3+∠1+∠4 =∠3+∠2+∠4 ， ∴∠CAB+∠ACP=∠CPB+∠ABP ； 解：数量关系为： ∠ACP+∠ABP+∠CAB=∠CPB 或 ∠ACP+∠CPB+∠ABP+∠CAB=360° ， 如图3，过点 P 作 PE//l1 ， ∴ PE//l1//l2 ， ∴∠DCA=∠CAB ， ∠CPE=∠DCA+∠ACP ， ∠BPE=∠ABP ， ∴ ∠CPB=∠CPE+∠BPE=∠CAB+∠ACP+∠ABP ， 即 ∠ACP+∠ABP+∠CAB=∠CPB ； 如图4，过点 P 作 PF//l1 ， ∴ PF//l1//l2 ， ∴∠DCA=∠CAB ， ∠CPF+∠DCA+∠ACP=180° ， ∠BPF+∠ABP=180° ， ∴ ∠CPF+∠CAB+∠ACP+∠BPF+∠ABP=360° ， 即 ∠ACP+∠CPB+∠ABP+∠CAB=360° .

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