题目

如图，四边形 中， ， ， ， ， ， 分别在 ， 上， ，现将四边形 沿 折起，使平面 平面 .（Ⅰ）若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，且 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值. 答案：解：（Ⅰ）在折叠后的图中过 C 作 CG⊥FD ，交 FD 于 G ，过 G 作 GP⊥FD 交 AD 于 P ，连结 PC ，在四边形 ABCD 中， EF//AB ， AB⊥AD ，所以 EF⊥AD .折起后 AF⊥EF ， DF⊥EF ，又平面 ABEF⊥ 平面 EFDC ，平面 ABEF∩​ 平面 EFDC=EF ，所以 FD⊥ 平面 ABEF .又 AF⊂ 平面 ABEF ，所以 FD⊥AF ，所以 CG//EF ， PG//AF ， APPD=FGGD=32 ，因为 CG∩​PG=G ， EF∩​AF=F ，所以平面 CPG// 平面 ABEF ，因为 CP⊂ 平面 CPG ，所以 CP// 平面 ABEF .所以在 AD 存在一点 P ，且 AP⇀=32PD⇀ ，使 CP// 平面 ABEF .（Ⅱ）设 BE=x ，所以 AF=x(0<x≤4) ， FD=6−x ，故 VA−CDF=13×12×2×(6−x)×x=13(−x2+6x)=13[9−(x−3)2]所以当 x=3 时， VA−CDE 取是最大值.由（Ⅰ）可以 F 为原点，以 FE ， FD ， FA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，3) ， D(0，3，0) ， C(2，1，0) ， E(2，0，0) ，所以 AE⇀=(2，0，−3) ， AC⇀=(2，1，−3) ， AF⇀=(0，0，3) ， FC⇀=(2，1，0) ，设平面 ACE 的法向量 n1⇀=(x1，y1，z1) ，则 {n1⇀·AC⇀=0，n1⇀·AE⇀=0， 即 {2x1+y1−3z1=0，2x1−3z1=0，令 x1=3 ，则 y1=0 ， z1=2 ，则 n1⇀=(3，0，2) ，设平面 ACF 的法向量 n2⇀=(x2，y2，z2) ，则 {n2⇀·FA⇀=0，n2⇀·FC⇀=0， 即 {3z2=02x2+y2=0，令 x2=1 ，则 y2=−2 ， z2=0 ，则 n2⇀=(1，−2，0)所以 cosn1⇀，n2⇀=n1⇀·n2⇀|n1⇀||n2⇀|=313×5=36565 .所以二面角 E−AC−F 的余弦值为 36565

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