题目

已知函数 ， ， 是自然对数的底数. （1） 当 时，讨论 的单调性； （2） 当 时， ，求 的取值范围. 答案： 当 a=0 时， f′(x)=−12ex(x2−2x−4) ， 令 f′(x)=0 ，得 x=1±5 ，由 f′(x)>0 ，得 1−5<x<1+5 ， 由 f′(x)<0 ，得 x>1+5 或 x<1−5 ， 所以 f(x) 在 (−∞，1−5) 上单调递减， 在 (1−5，1+5) 上单调递增，在 (1+5，+∞) 上单调递减． 由当 x≤2 时， f(x)≥0 ，得 2x−12x2−a(x−1)ex≥0 ， 记 g(x)=2x−12x2−a(x−1)ex ，则 g′(x)=(2−x)ex−aex ， ①当 a≤0 时，则 g′(x)≥0 ，可知 g(x) 在 (−∞，2) 上单调递增，且 g(−1)=−52+2ae<0 ， 不满足当 x≤2 时， f(x)≥0 ，舍去； ②当 0<a<e2 时，令 g′(x)=0 ，得 x1=2 ， x2=lna ， 因为 lna<2 ，所以当 x<lna 时， g′(x)<0 ，当 lna<x<2 时， g′(x)>0 ， 故 g(x) 在 (−∞，lna) 上单调递减，在 (lna，2) 上单调递增， 所以 g(x)min=g(lna)=−12(lna)2+lna+1≥0 ，解得 e1−3≤a≤e1+3 ， 因为 e1+3>e2 ，所以 e1−3≤a<e2 ； ③当 a≥e2 时，则 lna≥2 ，此时当 x<2 时， g′(x)≤0 ，故 g(x) 在 (−∞，2] 上单调递减， 所以 g(x)min=g(2)=2−ae2≥0 ，解得 a≤2e2 ，所以 e2≤a≤2e2 ； 综上所述，a的取值范围是 [e1−3，2e2] .

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