题目

设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）． （1） 若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值； （2） 若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值； （3） 若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围． 答案： 解：由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）= 1x−a =3， ∴x= 1a+3 ，则f（ 1a+3 ）=ln 1a+3 ﹣ aa+3 ，∴ln 1a+3 ﹣ aa+3 = aa+3 -1，得ln 1a+3 =0，即a=﹣2 解：f′（x）= 1x−a ， 当a≤ 1e2 时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得 a=1e2−e （舍）；当 1e2 ＜a＜1时，若x∈[1， 1e2 ]，f′（x）＞0，x∈[ 1e2 ,2]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故 f(x)max={f(1),f(e2)} ，f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，即当 1e2＜a＜1e2−1 时， f(x)max=2−ae2=1−ae ，得 a=1e2−e （舍）；当 1e2−1＜a＜1 时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a= 1e−1 ；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a= 1e−1 （舍）；综上，a= 1e−1 ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t） +12 （2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t） +12 （x﹣t）， 令g（x）=lnx+ 12x ，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，即 {x2−x−t=0有唯一实根x−t＞02x2−x−3t＞0 ⇒ {t＜2x2−x3t＜xt=x2−x ，作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣ 14 或0＜t＜2．

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