题目

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C． （1） 如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式； （2） 如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标； （3） 如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4 a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长． 答案： 解：当y=0时，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），∴AB=3，∵△ABC的面积为3，∴ 12 •4•OC=3，解得OC=2，则C（0，﹣2），把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣ 12 ，∴抛物线的解析式为y=﹣ 12 x2+ 52 x﹣2 解：过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵∠BCP=2∠ABC，∴∠PCD=∠ABC，∴Rt△PCD∽Rt△CBO，∴PD：OC=CD：OB，即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，∴点P的横坐标为6 解：过点F作FG⊥PK于点G，如图3，∵AK=FK，∴∠KAF=∠KFA，而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，∵∠KAH=∠FKP，∴∠HAP=∠KPA，∴HA=HP，∴△AHP为等腰直角三角形，∵P（6，10a），∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ 12 ，在Rt△PFG中，∵PF=﹣4 2 a=2 2 ，∠FPG=45°，∴FG=PG= 22 PF=2，在△AKH和△KFG中{∠AHK=∠KGF∠KAH=∠GKFKA=FK ，∴△AKH≌△KFG，∴KH=FG=2，∴K（6，2），设直线KB的解析式为y=mx+n，把K（6，2），B（4，0）代入得 {6k+b=24k+b=0 ，解得 {k=1b=−4 ，∴直线KB的解析式为y=x﹣4，当a=﹣ 12 时，抛物线的解析式为y=﹣ 12 x2+ 52 x﹣2，解方程组 {y=x−4y=12x2+52x−2 ，解得 {x=−1y=−5 或 {x=4y=0 ，∴Q（﹣1，﹣5），而P（6，﹣5），∴PQ∥x 轴，∴QP=7．

查看本题答案和解析