题目

设 ， 为正整数，一个正整数数列 满足 .对 ，定义集合 .数列 中的 是集合 中元素的个数. （1） 若数列 为5，3，3，2，1，1，写出数列 ； （2） 若 ， ， 为公比为 的等比数列，求 ； （3） 对 ，定义集合 ，令 是集合 中元素数的个数.求证：对 ，均有 . 答案： 解： ∵B1={1,2,3,4,5,6},B2={1,2,3,4},B3={1,2,3},B4={1},B5={1} ∴ 数列 b1,b2,⋯,bm 为 6,4,3,1,1 解：由题意知 B1={j∈{1,2,⋯,n}|aj≥1}={1,2,3,⋯,n} ，则 b1=n=2m 因为数列 b1,b2,⋯,bm 为公比为 12 的等比数列，所以数列 b1,b2,⋯,bm 为 2m,2m−1,⋯,2 假设数列 {an} 中有 dm 个 m ， dm−1 个 m−1 ,…, d2 个 2 , d1 个 1 所以 a1+a2+⋯+an=mdm+(m−1)dm−1+⋯+2d2+d1 由题意可知 b1=dm+⋯+d3+d2+d1 b2=dm+⋯+d3+d2 b3=dm+⋯+d3 … bk=dm+⋯+dk   … bm=dm 所以 b1+b2+⋯+bm=mdm+(m−1)dm−1+⋯+2d2+d1 所以 解：对 i=1,2,…,m , bi 表示数列 a1,a2,…,an 中大于等于 i 的个数，即 b1=n 由(2)知 b1=dm+⋯+d3+d2+d1 b2=dm+⋯+d3+d2 b3=dm+⋯+d3 … bm=dm 并且 a1=m⩾m⇒bm⩾1 所以 n=b1⩾b2⩾b3⩾…⩾bm⩾1 设 aj=i ，则 a1≥a2≥⋯≥aj≥i ，即 1,2,⋯,j∈Bi ，从而 bi⩾j 故 b1⩾b2⩾…⩾bi⩾j 从而 1,2,…,i∈Cj ，故 cj⩾i ，而 i=aj ，故有 cj⩾aj 设 cj=k ，即 Cj={1,2,…,k} ，根据集合 Cj 的定义，有 b1⩾b2⩾…⩾bk⩾j 由 bk⩾j 知， 1,2,…,j∈Bk ，由 Bk 的定义可得 a1⩾a2⩾…⩾aj⩾k 而由 k=cj ，故 aj⩾cj 由此，对 j=1,2,⋯,n ，均有 aj=cj

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