题目

已知四棱锥 ， ， ， ， ， ， 平面 . （1） 求证：平面 平面 ； （2） 当 时，求直线 和平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：在 ΔADC 中，由余弦定理，知 AC2=AD2+DC2−2AD⋅DCcos∠ADC ， 将 AD=13 ， DC=12 ， cos∠ADC=1213 代入上式，计算得 AC=5 ，故 AB2+BC2=AC2 ， 所以 AB⊥BC . 又 EC⊥ 平面 ABCD ， AB⊂ 平面 ABCD ， 所以 EC∩BC=C ， 所以 AB⊥ 平面 EBC ， 又 AB⊂ 平面 ABE ， 故平面 ABE⊥ 平面 BCE . 解：由（1）知， AC2+CD2=AD2 ， 故 AC⊥CD . 又 EC⊥ 平面 ABCD ，所以 AC ， DC ， EC 两两垂直，以C为原点， 直线 CD ， CA ， CE 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系： 依题意， C(0,0,0) ， A(0,5,0) ， D(12,0,0) ， E(0,0,60) ， 则 AD→=(12,−5,0) ， AE→=(0,−5,60) ， 假设平面 ADE 的一个法向量为 n→=(x,y,z) ， 由 {AD⇀⋅n⇀=0,AE⇀⋅n⇀=0, 得 {(12,−5,0)⋅(x,y,z)=0,(0,−5,60)⋅(x,y,z)=0. 即 {12x−5y=0,−5y+60z=0, 令 z=1 ，解得 n→=(5,12,1) . 而 AC⇀=(0,−5,0) ，设直线 AC 和平面 ADE 所成的角为 α ， 则 sinα=|AC→⋅n→||AC→||n→| =|(0,−5,0)⋅(5,12,1)|5×52+122+12=617085 即 AC 和平面 ADE 所成角的正弦值为 617085 .

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