题目

如图，半径R=0.5m的光滑半圆弧轨道固定在竖直平面内，AB是轨道的竖直直径，轨道下端点B上静止着质量m=2kg的小物块，轨道在B点与倾角θ=30°的传送带(轮子半径很小)上端点相切：电动机带动传送带以v=8m/s的速度逆时针匀速运动，传送带下端点C与水平面CDO平滑连接，B、C间距L=4m；一轻质弹簧的右端固定在O处的挡板上，质量M=10kg的物体靠在弹簧的左端D处。现将M压缩弹簧一定距离后由静止释放，M在传送带上一直做匀加速直线运动，在轨道上B点M与m正碰(碰撞时间不计)，碰后两物体粘在一起且恰好能沿圆轨道通过A点。上述过程中，M经C点滑上和经B点离开传送带时，速度大小不变，方向分别变为沿传送带向上和水平向左。已知M与传送带间的动摩擦因数为μ= ，且m、M均可视为质点，重力加速度大小g=10m/s2 ， 则： （1） 在圆弧轨道的B点，m、M碰后粘在一起的瞬间对轨道的压力大小； （2） M在传送带上运动的过程中，求系统由于摩擦产生的热量Q及带动传送带的电动机由于运送M多输出的电能E。 答案： 解：m、M恰好能通过A点，在A点，重力通过向心力，由牛顿第二定律得： （m+M）g=（m+M） vA2R ， 代入数据解得：vA= 5 m/s， 从B到A过程，由机械能守恒定律得： 12 (m+M)vB2＝ 12 (m+M)vA2+(m+M)g×2R， 代入数据解得：vB=5m/s； 在圆弧轨道上的B点，由牛顿第二定律得： F-（m+M）g=（m+M） vB2R ， 代入数据解得：F=720N， 由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力：F′=F=720N，方向：竖直向下 解：设碰撞前M的速度为v1，在C的速度为vC，在传送带上的加速度为a，运动时间为t， m、M碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向， 由动量守恒定律得：Mv1=（m+M）vB， 代入数据解得：v1=6m/s， M在传送带上运动过程，由牛顿第二定律得：μ1Mgcosθ-Mgsinθ=Ma， 代入数据解得：a=2.5m/s2， 由运动学公式得：v12-vC2=2aL， 代入数据解得：vC=4m/s， 由运动学公式得：v1=vC+at， 代入数据解得：t=0.8s， 传送带在t内的位移：x1=vt=8×0.8=6.4m， 摩擦产生的热量：Q=μ1Mgcosθ（x1-L）， 代入数据解得：Q=180J； 由能量守恒定律得：E=MgLsinθ+ 12 Mv12- 12 MvC2+Q， 代入数据解得：E=480J

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