题目

已知抛物线. （1） 求抛物线的对称轴； （2） 当抛物线与x轴两交点的距离是4时，求抛物线的顶点坐标； （3） 如果抛物线的图象与x轴仅有一个公共点A．过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标． 答案： 解：对称轴：x=−b2a=−−m2m=12． 解：∵抛物线与x轴的两交点的距离是4，∴抛物线与x轴的两交点分别为(12+2，0)，(12−2，0)，即(52，0)，(−32，0)．将(−32，0)代入抛物线y＝mx2﹣mx+1，得94m+32m+1=0，解得m=−415．∴y=−415x2+415x+1．∴抛物线的顶点坐标为(12，1615)． 解：由题意可知，Δ＝m2﹣4m＝0，且m≠0，解得m＝4；二次函数的解析式为：y＝4x2﹣4x+1，∴抛物线的对称轴为直线x=12．根据题意作出图形，需要分两种情况：①当点P在直线l下方时，如图1，过点D作DF⊥EP于点F，∵△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴点F是EP的中点，∴DF＝EF＝FP，设点P的横坐标为t（t＞12），∴DF＝EF＝FP＝t﹣12，∵点P在抛物线y＝4x2﹣4x+1上，∴4t2﹣4t+1+2（t﹣12）＝3，解得t＝1+134或t＝1−134（舍去）；②当点P在直线l上方时，如图2，过点D′作D′F′⊥E′P′于点F′，∵△P′D′E′是以D′为直角顶点的等腰直角三角形，∴点F′是E′P′的中点，∴D′F′＝E′F′＝F′P′，设点P′的横坐标为t，则D′F′＝E′F′＝F′P′＝t﹣12，∴4t2﹣4t+1﹣2（t﹣12）＝3，解得t＝3+134或t＝3−134（舍去）．综上，存在，点D使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形，此时点P的横坐标为1+134或3+134．

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