题目

如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP． （1） 连接OP，证明：△ADM∽△APO； （2） 证明：PD是⊙O的切线； （3） 若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值． 答案： 证明：连接OD、OP、CD． ∵AD•AO＝AM•AP， ∴ ADAP=AMAO ，∠A＝∠A， ∴△ADM∽△APO． 证明：∵△ADM∽△APO， ∴∠ADM＝∠APO， ∴MD // PO， ∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO， ∵OD＝OM， ∴∠DMO＝∠MDO， ∴∠DOP＝∠POC， ∵OP＝OP，OD＝OC， ∴△ODP≌△OCP（SAS）， ∴∠ODP＝∠OCP， ∵BC⊥AC， ∴∠ODP＝∠OCP＝90°， ∴OD⊥AP， ∴PD是⊙O的切线． 解：连接OD、OP、CD，设圆的半径为R， ∵△ODP≌△OCP ∴PC＝PD， ∵AM＝MC， ∴AM＝2MO＝2R， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2， ∴R2+122＝9R2， ∴R＝3 2 ， ∴OD＝3 2 ，MC＝6 2 ， ∵ ADAP=AMAO=23 ， ∴ 12AP=23 ， ∴AP＝18， ∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6， ∵O是MC的中点，MB // PO， ∴ COMC=CPCB=12 ， ∴点P是BC的中点， ∴PB＝CP＝DP＝6， ∵MC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝∠CDM＝90°， 在Rt△BCM中， ∵BC＝2DP＝12，MC＝6 2 ， ∴BM＝ BC2+MC2 ＝ 122+(62)2 ＝6 6 ， ∵ ∠CMB=∠DMC,∠MCB=∠MDC=90° ， ∴△BCM∽△CDM， ∴ MDMC=MCMB ，即 DM62=6266 ， ∴DM＝2 6 ．

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