题目

已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。 （1） 若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。 （2） 是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。 答案： 解：因为 ⊙M 过点 A,B ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 x+y=0 上，且 A,B 关于坐标原点O对称，所以M在直线 y=x 上，故可设 M(a, a) .因为 ⊙M 与直线x+2=0相切，所以 ⊙M 的半径为 r=|a+2| .由已知得 |AO|=2 ，又 MO→⊥AO→ ，故可得 2a2+4=(a+2)2 ，解得 a=0 或 a=4 .故 ⊙M 的半径 r=2 或 r=6 . 存在定点 P(1,0) ，使得 |MA|−|MP| 为定值.理由如下：设 M(x, y) ，由已知得 ⊙M 的半径为 r=|x+2|,|AO|=2 .由于 MO→⊥AO→ ，故可得 x2+y2+4=(x+2)2 ，化简得M的轨迹方程为 y2=4x .因为曲线 C:y2=4x 是以点 P(1,0) 为焦点，以直线 x=−1 为准线的抛物线，所以 |MP|=x+1 .因为 |MA|−|MP|=r−|MP|=x+2−(x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点P.

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