题目

如图， 是正方形 边 上一个动点，线段 与 关于直线 对称，连接 并延长交直线 于点 ，连接 . （1） 如图1， ， ①求 的大小； ②求证： ； （2） 如图2，试猜想线段 与 之间的数量关系，并证明你的结论. 答案： 解：① ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD=90° ， AD=AB=BC ， ∵∠BAP=30° ， ∴∠DAP=∠BAD−∠BAP=60° ， ∵ 线段 AE 与 AD 关于直线 AP 对称， ∴∠DAP=∠EAP=60° ， AD=AE ， ∴∠BAE=∠EAP−∠BAP=30° ， AB=AE ， ∴∠E=∠ABE=75° ， ∴∠AFE=180°−∠E−∠EAP=180°−75°−60°=45° ； ②过 B 作 BG⊥AP 于 G ，如图： 由①知： ∠AFE=45° ， ∴ΔBFG 是等腰直角三角形， ∴BG=BF2 ， ∵∠BAP=30° ， ∴BG=12AB ， ∴ BF2=12AB ， ∴AB=2BF ， ∴BC=2BF 解：设∠BAP=x， ∴∠DAP=90°-x， ∵线段AE与AD关于直线AP对称， ∴∠DAP=∠EAP=90°-x，AD=AE， ∴∠BAE=∠EAP-∠BAP=90°-2x，AB=AE， ∴∠E=∠ABE= 180°−∠BAE2 =45°+x， ∴∠AFE=180°-∠EAP-∠E=180°-（90°-x）-（45°+x）=45°， 如图，过点A作AK⊥EF于K，过点B作BG⊥AF，交AF于G，过点G作GN⊥AK于N点， ∵∠AFE=45°， ∴BF=BG， ∵∠FBG=∠ABC=90°， 即∠CBF+∠CBG=∠CBG+∠ABG， ∴∠CBF=∠ABG，又BC=AB， ∴△BFC≌△BGA（SAS）， ∴CF=AG， ∵AB=AE，AK⊥BE， 设BE=2BK=2a， ∵∠GBK=∠BKA=∠KNG=90°， ∴四边形BGNK为矩形， ∴GN=BK=a， ∵∠AFE=45°，∠ANG=90°， ∴GA= 2 GN= 2 a， ∴BF= 2 CF.

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