题目

如图，正方形 中，点E在边 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 的对称点为点F，连接 ，设 . （1） 求 的大小（用含 的式子表示）； （2） 过点C作 ，垂足为G，连接 .判断 与 的位置关系，并说明理由； （3） 将 绕点B顺时针旋转 得到 ，点E的对应点为点H，连接 ， .当 为等腰三角形时，求 的值. 答案： 解：连接BF，设AF和BE相交于点N. ∵  点A关于直线BE的对称点为点F ∴  BE是AF的垂直平分线 ∴BE⊥AF  ，AB=BF ∴∠BAF=∠BFA   ∵∠ABE=α   ∴∠BAF=90°-α=∠BFA   ∴∠EBF=180°-90°-(90°-α)=α   ∵  四边形ABCD是正方形 ∴  AB=BC， ∠ABC=90° ∴∠FBC=90°-2α，AB=BC=BF   ∴∠BFC=∠BCF   ∵∠BFC+∠BCF+∠FBC=180°，∠FBC=90°−2α   ∴∠BFC=∠BCF=180°−(90°−2α)2=45°+α 解：位置关系：平行. 理由：连接BF，AC，DG 设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N 由(1)可知， ∠ABE=∠EBF=α，∠BAF=∠BFA=90°−α，   ∠BFC=∠BCF=45°+α   ∴∠AFC=∠AFB+∠CFB=90°−α+45°+α=135°   ∴∠CFG=180°−∠AFC=45°   ∵CG⊥AG   ∴∠FGC=90°   ∴∠GCF=180°−∠FGC−∠CFG=45°=∠CFG   ∴△CGF 是等腰直角三角形 ∴CGCF=12   ∵  四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD   ∴△ADC  是等腰直角三角形 ∴DCAC=12，∠ACD=45°   ∴∠BCA=45°   ∵BE 垂直平分AF ∴∠ANE=90°   ∴∠NAE=180°−∠ANE−∠AEN=α   在 △ADM 和 △CGM 中， {∠ADC=∠AGC=90°∠AMD=∠CMG   ∴△ADM∽△CGM   ∴∠MCG=∠GAD=α   ∵∠BCA=45°，∠BCF=45°+α   ∴∠ACF=∠BCF−∠BCA=α   在 △DGC 和 △AFC 中， ∵DCAC=CGFC=12，∠DCG=∠ACF=α   ∴△DGC∽△AFC   ∴∠AFC=∠DGC=135°   ∴∠DGA=∠DGC−∠AGC=135°−90°=45°   ∴∠DGA=∠CFG=45°   ∴  CF//DG 解： △BFH 为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论： ①当FH=BH时，作 MH⊥BF 于点M 由(1)可知：AB=BF， ∠ABE=∠EBF=α ∵  四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC，∠ABC=90°，∠BAE=90°   设AB=BF=BC=a ∵ 将 △ABE 绕点B顺时针旋转 90° 得到 △CBH ∴∠CBH=∠ABE=α，BH=BE   ∴∠FBH=∠ABC−∠ABF+∠CBH=90°−2α+α=90°−α   ∵  FH=BH ∴∠HBF=∠BFH=90°−α   ∴∠FHB=180°−∠FBH−∠BFH=2α   ∵△BFH  是等腰三角形， BH=HF，HM⊥BF ∴∠BHM=∠FHM=α，BM=MF=12BF=a2   在 △ABE 和 △MHB 中， {∠BAE=∠BMH=90°∠BHM=∠ABE=α   ∴△ABE∽△MHB   ∴BMAE=BHBE=1   ∴  BM=AE= a2 ∴BE=AE2+AB2=(a2)2+a2=5a2   ∴sinα=AEBE=55   ②当BF=FH时， 设FH与BC交点为O ∵   △ABE 绕点B顺时针旋转 90° 得到 △CBH ∴∠ABE=∠CBH=α   由(1)可知： ∠ABF=2α ∴∠FBC=90°−2α   ∴∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°−2α+α=90°−α   ∵BF=FH   ∴∠FBH=∠FHB=90°−α   ∴∠BOH=180°−∠CBH−∠BHF=90°   此时， ∠BOH 与 ∠BCH 重合，与题目不符，故舍去 ③当BF=BH时， 由(1)可知：AB=BF 设AB=BF=a ∵  四边形ABCD是正方形 ∴  AB=BC=a ∵  BF=BH ∴  BF=BH=BC=a 而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去. 故答案为： 55

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