题目

在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . （1） 求A； （2） 若 ， ，求 的周长. 答案： 由已知及正弦定理得 sinC=sinAcosB+33sinBsinA ， ∵在 △ABC 中， sinC=sin(A+B) ， ∴ sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+33sinBsinA ， ∴ cosAsinB=33sinBsinA ， ∵ sinB≠0 ，∴ cosA=33sinA ， ∴ tanA=3 ，∵ A∈(0，π) ， ∴ A=π3 . ∵ sinB+sinC=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB =sinB+32cosB+12sinB=32sinB+32cosB=3sin(B+π6)≥3 . ∴ sin(B+π6)≥1 ，∵ sin(B+π6)≤1 ，∴ sin(B+π6)=1 ， ∵ B∈(0，2π3) ，∴ B+π6∈(π6，5π6) ，∴ B+π6=π2 ，∴ B=π3 ， ∴ A=B=C ，∴ △ABC 是等边三角形，∴ △ABC 的周长为6.

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