题目

（1） 【提出问题】 如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． （2） 【类比探究】 如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． （3） 【拓展延伸】 如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 答案： 证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中， {AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN ∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN 解：结论∠ABC=∠ACN仍成立； 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中， {AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN ∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN 解：∠ABC=∠ACN； 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ ABAC=AMAN ，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN

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