题目

已知函数 ，曲线 在点 处切线与直线 垂直． （1） 试比较 与 的大小，并说明理由； （2） 若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ． 答案： 解：函数 f(x)=lnxx+a ， f′(x)=x+ax−lnx(x+a)2 ， 所以 f′(1)=1+a(1+a)2 ，又由切线与直线 x+y+8=0 垂直，可得 f′(1)=1 ，即 11+a=1 ，解得 a=0 ．此时 f(x)=lnxx ， f′(x)=1−lnxx2 ， 令 f′(x)>0 ，即 1−lnx>0 ，解得 0<x<e ； 令 f′(x)<0 ，即 1−lnx<0 ，解得 x>e ， 所以 f(x) 的增区间为 (0,e) ，减区间为 (e,+∞) ． 所以 f(2021)>f(2022) ，即 ln20212021>ln20222022 即 2022ln2021>2021ln2022 ， 即有： 20212022>20222021 ． 证明：不妨设 x1>x2>0 ，因为 g(x1)=g(x2)=0 ， 所以化简得 lnx1−kx1=0 ， lnx2−kx2=0 ．可得 lnx1+lnx2=k(x1+x2) ， lnx1−lnx2=k(x1+x2) ， 要证明 x1⋅x2>e2 ，即证明 lnx1+lnx2>2 ，也就是 k(x1+x2)>2 ． 因为 k=lnx1−lnx2x1−x2 ，即证 lnx1−lnx2x1−x2>2x1+x2 ， 即 lnx1x2>2(x1−x2)x1+x2 ，令 t=x1x2 ，则 t>1 ，即证 lnt>2(t−1)t+1 ．令 h(t)=lnt−2(t−1)t+1(t>1) ． 由 h′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0 ， 故函数 h(t) 在 (1,+∞) 是增函数， 所以 h(t)>h(1)=0 ，即 lnt>2(t−1)t+1 得证． 所以 x1⋅x2>e2 ．

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