题目

已知函数 ． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性； （Ⅱ）是否存在这样的实数k，使f（k-x2）+f（2k-x4）≥0对一切 恒成立，若存在，试求出k的取值集合；若不存在，请说明理由． 答案：解：（Ⅰ）由 2−x2+x ＞0 得-2＜x＜2， 所以f（x）的定义域为（-2，2）； ∵f（-x）=lg 2+x2−x =-lg 2−x2+x =-f（x）， ∴f（x）是奇函数． （Ⅱ）假设存在满足题意的实数k，则 令t= 2−x2+x = 4−(2+x)2+x = 42+x -1，x∈（-2，2）， 则t在（-2，2）上单调递减，又y=lgt在（0，+∞）上单调递增， 于是函数f（x）在（-2，2）上单调递减， ∴已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）≥0⇔f（k-x2）≥-f（2k-x4） ⇔f（k-x2）≥f（x4-2k）⇔-2＜k-x2≤x4-2k＜2， 由题意知-2＜k-x2≤x4-2k＜2对一切x∈[- 2 ， 2 ]恒成立， 得不等式组 {k>x2−2k>12x4−1k≤13(x4+x2)  对一切x∈[- 2 ， 2 ]恒成立， ∴ {k>0k>1k≤0  ，即k∈∅． 故不存在满足题意的实数k．

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